Định nghĩa

Cho dãy số thực ( x n ) n ≥ 1 {\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}} với xn là các số thực. Nó là

• Không tăng khi và chỉ khi x n ≥ x n + 1 {\displaystyle x_{n}\geq x_{n+1}} với mọi n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} .
• Không giảm khi và chỉ khi x n ≤ x n + 1 {\displaystyle x_{n}\leq x_{n+1}} với mọi n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} .

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.

Ví dụ, với dãy ( 2 n ) n ≥ 1 {\displaystyle (2^{n})_{n\geq 1}} , ta có 2 n + 1 = 2 n .2 {\displaystyle 2^{n+1}=2^{n}.2} . Do 2 > 1 nên 1.2 n < 2.2 n {\displaystyle 1.2^{n}<2.2^{n}} , hay 2 n < 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n}<2^{n+1}} . Suy ra ( 2 n ) n ≥ 1 {\displaystyle (2^{n})_{n\geq 1}} là dãy tăng.

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng.

Ví dụ như cho dãy ( ln ⁡ ( n ) n ) n ≥ 1 {\displaystyle \left({\frac {\ln(n)}{n}}\right)_{n\geq 1}} . Xét hàm số:

f ( x ) = ln ⁡ ( x ) x {\displaystyle f(x)={\frac {\ln(x)}{x}}} với x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1}

Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:

f ′ ( x ) = ln ′ ⁡ ( x ) x − ( x ) ′ ln ⁡ ( x ) x 2 = 1 − ln ⁡ ( x ) x 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {\ln '(x)x-(x)'\ln(x)}{x^{2}}}={\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}}

Đạo hàm này nhỏ hơn không khi x > e. Điều này xảy ra với mọi n > 2, nên dãy ( ln ⁡ ( n ) n ) n ≥ 3 {\displaystyle \left({\frac {\ln(n)}{n}}\right)_{n\geq 3}} là dãy giảm.